1. 定义
几何定义：平面内到两个定点（焦点）的距离之和为常数（2a）的点的轨迹。
圆锥截面：平面以小于母线与轴线夹角切割圆锥所得闭合曲线。
2. 标准方程
中心在原点：
长轴在x轴：$dfrac{x^2}{a^2} + dfrac{y^2}{b^2} = 1$ （a > b）
长轴在y轴：$dfrac{x^2}{b^2} + dfrac{y^2}{a^2} = 1$ （a > b）
中心在(h,k)：平移后的方程：
$dfrac{(x-h)^2}{a^2} + dfrac{(y-k)^2}{b^2} = 1$
3. 关键参数与关系
长半轴（a）：长轴长度的一半，顶点到中心的距离。
短半轴（b）：短轴长度的一半。
焦距（c）：焦点到中心的距离，满足 $c^2 = a^2
b^2$。
离心率（e）：$e = dfrac{c}{a}$ （0 < e < 1），反映椭圆的扁平程度。
4. 几何性质
焦点坐标：
长轴在x轴：$(pm c, 0)$
长轴在y轴：$(0, pm c)$
顶点坐标：
长轴端点：$(pm a, 0)$ 或 $(0, pm a)$
短轴端点：$(0, pm b)$ 或 $(pm b, 0)$
准线方程：
长轴在x轴：$x = pm dfrac{a^2}{c}$
长轴在y轴：$y = pm dfrac{a^2}{c}$
对称性：关于x轴、y轴和原点对称。
面积：$S = pi a b$
5. 其他方程形式
参数方程：
$x = a cos
heta$, $y = b sin
heta$（θ为参数）
极坐标方程（以左焦点为极点）：
$r = dfrac{a(1-e^2)}{1 + ecos
heta}$
6. 切线方程
点$(x_0, y_0)$处切线：
$dfrac{x x_0}{a^2} + dfrac{y y_0}{b^2} = 1$
斜率k的切线方程：
$y = kx pm sqrt{a^2 k^2 + b^2}$
7. 应用与实例
天体轨道：行星绕太阳的轨道为椭圆，太阳位于焦点。
光学性质：从一焦点发出的光线反射后经过另一焦点。
工程与设计：建筑结构（如拱门）、天线形状等。
8. 推导与转化
一般式→标准式：配方法化简 $Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0$，需满足 $AB > 0$。
离心率与形状：e→0时趋近于圆；e→1时趋近于线段。
通过以上结构可快速回顾椭圆的核心概念、公式及实际意义，适用于数学分析、物理建模及工程应用等领域。
