1. 标准方程形式
长轴在x轴：(frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)
(a) 是长半轴（长轴的一半），(b) 是短半轴（短轴的一半）。
焦距 (c) 满足 (c = sqrt{a^2
b^2})，焦点坐标为 ((pm c, 0))。
长轴在y轴：(frac{x^2}{b^2} + frac{y^2}{a^2} = 1)
此时 (a > b)，焦点坐标为 ((0, pm c))，同样 (c = sqrt{a^2
b^2})。
2. 参数关系
基本公式：(c^2 = a^2
b^2)
若已知任意两个参数，可求第三个：
(c = sqrt{a^2
b^2})
(a = sqrt{b^2 + c^2})
(b = sqrt{a^2
c^2})
3. 应用示例
已知长轴和短轴：
若 (a = 5)，(b = 3)，则焦距 (c = sqrt{5^2
3^2} = 4)。
已知焦距和长半轴：
若 (c = 3)，(a = 5)，则短半轴 (b = sqrt{5^2
3^2} = 4)。
离心率计算：
离心率 (e = frac{c}{a})（范围：(0 < e < 1)）。例如，(e = 0.8) 且 (a = 10)，则 (c = 8)，(b = sqrt{10^2
8^2} = 6)。
4. 其他公式
面积：(S = pi a b)
周长近似公式：(L approx pi left[ 3(a + b)
sqrt{(3a + b)(a + 3b)} right])
5. 注意事项
确保区分长轴方向，正确对应 (a) 和 (b) 的位置。
(a) 始终为长半轴，即 (a > b)（长轴在x轴或y轴时均成立）。
通过以上关系式，可根据已知条件灵活计算椭圆的 (a)、(b)、(c)。
