已知焦点求椭圆解析式

2025-09-16 阅读 37 评论 0

摘要：1. 确定椭圆的中心：中心为两焦点的中点，坐标为(left( frac{x_1 + x_2}{2}, frac{y_1 + y_2}{2} right))。
2. 计算焦距(c)：中心到任一焦点的距

1. 确定椭圆的中心：中心为两焦点的中点，坐标为(left( frac{x_1 + x_2}{2}, frac{y_1 + y_2}{2} right))。

已知焦点求椭圆解析式

2. 计算焦距(c)：中心到任一焦点的距离，即(c = frac{1}{2} sqrt{(x_2

x_1)^2 + (y_2

y_1)^2})。

3. 求长半轴(a)：利用已知条件（如椭圆上一点到两焦点的距离和为(2a)，或离心率(e = frac{c}{a})等）求出(a)。

4. 计算短半轴(b)：由椭圆性质(a^2 = b^2 + c^2)，得(b = sqrt{a^2

c^2})。

5. 确定方向并写出方程：

长轴水平（焦点在x方向）：(frac{(x

h)^2}{a^2} + frac{(y - k)^2}{b^2} = 1)

长轴垂直（焦点在y方向）：(frac{(x

h)^2}{b^2} + frac{(y - k)^2}{a^2} = 1)

示例：已知焦点(F_1(-2, 1))和(F_2(4, 1))，椭圆过点(P(1, 4))，求椭圆方程。

解答：

1. 中心：(left( frac{-2+4}{2}, frac{1+1}{2} right) = (1, 1))

2. 焦距(c)：两焦点间距(sqrt{(4

(-2))^2 + 0} = 6)，故(c = 3)

3. 求(a)：点(P(1, 4))到两焦点的距离和为(6sqrt{2})，即(2a = 6sqrt{2})，得(a = 3sqrt{2})

4. 求(b)：(b = sqrt{(3sqrt{2})^2

3^2} = sqrt{18

9} = 3)

5. 方程：焦点水平分布，长轴水平，方程为：

[

frac{(x

1)^2}{(3sqrt{2})^2} + frac{(y

1)^2}{3^2} = 1 implies frac{(x - 1)^2}{18} + frac{(y - 1)^2}{9} = 1

]

答案：椭圆的标准方程为(boxed{dfrac{(x - 1)^2}{18} + dfrac{(y - 1)^2}{9} = 1})。

标签：椭圆已知解析焦点