椭圆两焦点与短轴两端点连线构成正方形

椭圆的标准方程为(frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中(a)是长半轴，(b)是短半轴，焦点坐标为((pm c, 0))，其中(c = sqrt{a^2

题目中给出椭圆的两个焦点与短轴的端点连线构成正方形。考虑焦点(F_1(-c, 0))、(F_2(c, 0))和短轴端点(B_1(0, b))、(B_2(0, -b))组成的四边形是否为正方形。

1. 边长相等：四个点之间的距离均为(sqrt{c^2 + b^2})。

2. 相邻边垂直：相邻边的向量点积为零。例如，向量(F_1B_1 = (c, b))和向量(B_1F_2 = (c, -b))的点积为(c^2

当(c = b)时，椭圆的长半轴(a)满足(a = sqrt{b^2 + c^2} = sqrt{2b^2} = bsqrt{2})。离心率(e)为：

[

e = frac{c}{a} = frac{b}{bsqrt{2}} = frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2}

]

椭圆的离心率为(boxed{dfrac{sqrt{2}}{2}})。