椭圆焦点与短轴顶点所成角度

2025-06-10 阅读 2 评论 0

摘要：椭圆的标准方程为 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中 (a > b)。椭圆的焦点坐标为 ((pm c, 0))，其中 (c = sqrt{a^2
b^2

椭圆的标准方程为 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中 (a > b)。椭圆的焦点坐标为 ((pm c, 0))，其中 (c = sqrt{a^2

椭圆焦点与短轴顶点所成角度

b^2})。短轴的顶点坐标为 ((0, pm b))。

考虑从右焦点 ((c, 0)) 到短轴顶点 ((0, b)) 和 ((0, -b)) 的连线所形成的角度。使用向量点积的方法计算该角度：

1. 向量 (overrightarrow{FA}) 和 (overrightarrow{FB}) 分别为 ((-c, b)) 和 ((-c, -b))。

2. 点积 (overrightarrow{FA} cdot overrightarrow{FB} = (-c)(-c) + (b)(-b) = c^2

b^2)。

3. 向量长度均为 (sqrt{c^2 + b^2})。

4. 根据点积公式 (overrightarrow{FA} cdot overrightarrow{FB} = |overrightarrow{FA}||overrightarrow{FB}| cos

heta)，得到：

[

c^2

b^2 = (c^2 + b^2) cos heta

]

5. 解得：

[

cos

heta = frac{c^2

b^2}{c^2 + b^2}

]

6. 代入 (c^2 = a^2

b^2) 得：

[

cos

heta = frac{a^2

2b^2}{a^2}

]

7. 角度 (

heta) 为：

[

heta = arccosleft(1

frac{2b^2}{a^2}right)

]

最终答案为：

[

boxed{arccosleft(1

frac{2b^2}{a^2}right)}

]

标签：椭圆顶点角度焦点