椭圆公式标准方程怎么求

1. 中心在原点，长轴在x轴上：

标准方程为：

[

frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1

]

其中，(a > b)，焦点坐标为 ((pm c, 0))，且满足 (c^2 = a^2

2. 中心在原点，长轴在y轴上：

标准方程为：

[

frac{x^2}{b^2} + frac{y^2}{a^2} = 1

]

同样 (a > b)，焦点坐标为 ((0, pm c))，且 (c^2 = a^2

推导过程（以x轴为主轴）：

1. 几何定义：椭圆上任一点 ((x, y)) 到两焦点 ((pm c, 0)) 的距离和为 (2a)。

2. 距离方程：

[

sqrt{(x+c)^2 + y^2} + sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a

]

3. 代数化简：

将一般方程化为标准形式：

对于形如 (Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0) 的方程（(A, B > 0)）：

1. 分组配方：

[

Aleft(x + frac{D}{2A}right)^2 + Bleft(y + frac{E}{2B}right)^2 = frac{D^2}{4A} + frac{E^2}{4B}

]

2. 整理为标准形式：

[

frac{(x-h)^2}{a^2} + frac{(y-k)^2}{b^2} = 1

]

其中，中心为 ((h, k))，(a) 和 (b) 由分母确定，较大的分母对应长半轴。

示例：将 (4x^2 + 9y^2

1. 配方得：

[

4(x-2)^2 + 9(y+1)^2 = 36

]

2. 两边除以36：

[

frac{(x-2)^2}{9} + frac{(y+1)^2}{4} = 1

]

中心在 ((2, -1))，长半轴3，短半轴2。

掌握这些步骤后，即可根据已知条件或给定方程推导椭圆的标准形式。