椭圆标准方程和一般方程公式

1. 椭圆的标准方程

椭圆的标准方程根据长轴的方向分为两种情况：

[

frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1 quad (a > b)

]

[

frac{x^2}{b^2} + frac{y^2}{a^2} = 1 quad (a > b)

]

若椭圆的中心为 ((h, k))，则方程平移后为：

[

frac{(x-h)^2}{a^2} + frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 quad

ext{或} quad frac{(x-h)^2}{b^2} + frac{(y-k)^2}{a^2} = 1.

]

2. 椭圆的一般方程

椭圆的一般方程为二次方程形式：

[

Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0 quad (A cdot B > 0, A

eq B),

]

其中 (A) 和 (B) 同号（否则表示虚椭圆或无解）。通过配方法可将其转换为标准形式：

1. 分组并配方：

[

Aleft(x^2 + frac{C}{A}xright) + Bleft(y^2 + frac{D}{B}yright) = -E.

]

2. 完成平方：

[

Aleft(x + frac{C}{2A}right)^2 + Bleft(y + frac{D}{2B}right)^2 = frac{C^2}{4A} + frac{D^2}{4B}

]

3. 两边同除以常数项，整理为标准方程形式。

3. 关键区别

例如，方程 (3x^2 + 5y^2

[

frac{(x-1)^2}{9} + frac{(y+2)^2}{frac{27}{5}} = 1,

]

表示中心在 ((1, -2))、长轴在x轴上的椭圆。