椭圆短轴顶点与长轴两顶点最大

1. 椭圆方程及顶点坐标：

椭圆的标准方程为 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中长轴顶点为 (A_1(-a, 0)) 和 (A_2(a, 0))，短轴顶点为 (B(0, b)) 或 (B'(0, -b))。

2. 三角形面积表达式：

考虑椭圆上任意一点 (P(x, y))，与长轴两顶点 (A_1) 和 (A_2) 形成的三角形 (PA_1A_2)。该三角形的底边长度为 (A_1A_2 = 2a)，高为点 (P) 的纵坐标绝对值 (|y|)。三角形的面积为：

[

S = frac{1}{2}

imes 2a

imes |y| = a|y|.

]

3. 最大化面积：

由于椭圆方程约束，点 (P) 的纵坐标满足 (|y| leq b)。当且仅当点 (P) 位于短轴顶点 (B(0, b)) 或 (B'(0, -b)) 时，(|y|) 取得最大值 (b)。此时三角形的面积为：

[

S_{

ext{max}} = a

imes b = ab.

]

结论：

椭圆短轴顶点与长轴两顶点所形成的三角形的最大面积为 (boxed{ab})。