椭圆焦点到椭圆的最短距离

2025-09-13 阅读 101 评论 0

摘要：椭圆的标准方程为(frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中(a)是长半轴，(b)是短半轴，焦距(c)满足(c = sqrt{a^2
b^2})，焦点坐标为((p

椭圆的标准方程为(frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中(a)是长半轴，(b)是短半轴，焦距(c)满足(c = sqrt{a^2

椭圆焦点到椭圆的最短距离

b^2})，焦点坐标为((pm c, 0))。

为了找到椭圆上到焦点((c, 0))的最短距离，我们考虑椭圆上的任意点((x, y))到该焦点的距离平方：

[ d^2 = (x

c)^2 + y^2 ]

利用椭圆方程(frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，将(y^2)表示为：

[ y^2 = b^2 left(1

frac{x^2}{a^2}right) ]

代入距离平方公式：

[ d^2 = (x

c)^2 + b^2 left(1

frac{x^2}{a^2}right) ]

展开并整理：

[ d^2 = x^2

2cx + c^2 + b^2

frac{b^2 x^2}{a^2} ]

[ = x^2 left(1

frac{b^2}{a^2}right)

2cx + (c^2 + b^2) ]

[ = frac{c^2}{a^2} x^2

2cx + (c^2 + b^2) ]

这是一个关于(x)的二次函数。由于椭圆的(x)取值范围是([-a, a])，我们需要找到该二次函数在此区间内的最小值。通过分析，二次函数的极值点(x = frac{a^2}{c})不在椭圆内部，因此最小值出现在区间的端点。

比较(x = a)和(x = -a)时的距离：

当(x = a)时，(y = 0)，距离为(a

c)。

当(x = -a)时，(y = 0)，距离为(a + c)。

显然，最短距离为(a

c)。

使用拉格朗日乘数法验证，目标函数为((x

c)^2 + y^2)，约束条件为(frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)。求解得到临界点为椭圆顶点，其中右顶点((a, 0))到焦点((c, 0))的距离最短，为(a

c)。

椭圆焦点到椭圆的最短距离为：

[

boxed{a

]

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