椭圆两个焦点与短轴的一个端点

2026-03-31 阅读 168 评论 0

摘要：1. 椭圆的标准方程为 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中 (a) 是长半轴，(b) 是短半轴，焦距 (c = sqrt{a^2
b^2})。
2.

1. 椭圆的标准方程为 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中 (a) 是长半轴，(b) 是短半轴，焦距 (c = sqrt{a^2

椭圆两个焦点与短轴的一个端点

b^2})。

2. 椭圆的焦点坐标为 ((pm c, 0))，短轴的一个端点为 ((0, b))。

3. 这三个点 ((-c, 0))、((c, 0)) 和 ((0, b)) 构成的三角形是直角三角形，直角顶点可能在 ((0, b))。

考虑向量从 ((0, b)) 到 ((-c, 0)) 为 ((-c, -b))，到 ((c, 0)) 为 ((c, -b))。这两个向量的点积为：

[

(-c) cdot c + (-b) cdot (-b) = -c^2 + b^2

]

若垂直，则点积为0：

[

-c^2 + b^2 = 0 implies b^2 = c^2

]

根据椭圆的性质 (c = sqrt{a^2

b^2})，代入得：

[

b^2 = a^2

b^2 implies 2b^2 = a^2 implies a = bsqrt{2}

]

离心率 (e) 为：

[

e = frac{c}{a} = frac{sqrt{a^2

b^2}}{a} = frac{sqrt{2b^2

b^2}}{bsqrt{2}} = frac{b}{bsqrt{2}} = frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2}

]

最终答案：

[

boxed{dfrac{sqrt{2}}{2}}

]

标签：端点椭圆两个焦点