12.3.1椭圆的标准方程

2025-06-05 阅读 2 评论 0

摘要：1. 长轴在x轴上：
中心在原点，焦点坐标为 ((pm c, 0))。
标准方程为：
[
boxed{dfrac{x^2}{a^2} + dfrac{y^2}{b^2} = 1}
]
其中

1. 长轴在x轴上：

12.3.1椭圆的标准方程

中心在原点，焦点坐标为 ((pm c, 0))。

标准方程为：

[

boxed{dfrac{x^2}{a^2} + dfrac{y^2}{b^2} = 1}

]

其中 (a > b)，且满足 (c^2 = a^2

b^2)。

2. 长轴在y轴上：

中心在原点，焦点坐标为 ((0, pm c))。

标准方程为：

[

boxed{dfrac{x^2}{b^2} + dfrac{y^2}{a^2} = 1}

]

其中 (a > b)，且满足 (c^2 = a^2

b^2)。

推导过程：

椭圆上的任一点到两个焦点的距离之和为常数 (2a)。

设焦点在 ((pm c, 0))，通过几何定义和代数运算推导出标准方程：

[

sqrt{(x

c)^2 + y^2} + sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a

]

经过两次平方和化简，最终得到：

[

dfrac{x^2}{a^2} + dfrac{y^2}{b^2} = 1

]

其中 (b^2 = a^2

c^2)。

例子：

长轴长为10，短轴长为6，长轴在x轴上，标准方程为：

[

dfrac{x^2}{25} + dfrac{y^2}{9} = 1

]

长轴在y轴上，长轴长为8，焦距为6，标准方程为：

[

dfrac{x^2}{7} + dfrac{y^2}{16} = 1

]

离心率：

离心率 (e = dfrac{c}{a})，范围在0到1之间。

中心不在原点的情况：

中心在 ((h, k)) 时，标准方程为：

[

dfrac{(x

h)^2}{a^2} + dfrac{(y

k)^2}{b^2} = 1 quad ext{或} quad dfrac{(x - h)^2}{b^2} + dfrac{(y - k)^2}{a^2} = 1

]

通过完成平方的方法可以将一般二次方程转化为椭圆的标准形式，从而确定椭圆的参数如中心、长轴、短轴和焦点位置。

原文链接：https://www.6g9.cn/bkkp/ddb0fAz5TUFlUBQ.html

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标签：椭圆方程标准

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