椭圆公式焦点弦公式定比点差法

一、椭圆的标准方程与基本性质

椭圆的标准方程为：

离心率：$e = dfrac{c}{a} quad (0 < e < 1)$。

二、焦点弦公式

焦点弦是指过椭圆焦点的弦。设椭圆为 $dfrac{x^2}{a^2} + dfrac{y^2}{b^2} = 1$，焦点为 $F(c, 0)$，过此焦点的直线斜率为 $k$，则焦点弦长公式为：

[

L = dfrac{2ab^2}{a^2k^2 + b^2}

]

或通过参数角 $

heta$（直线与x轴夹角）表示为：

[

L = dfrac{2ep}{1

]

其中 $e$ 为离心率，$p = dfrac{a(1

特例：

三、定比点差法

定比点差法用于解决椭圆上两点连线被某点按定比分的问题。设椭圆上两点 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，分点 $M(x_0, y_0)$ 满足 $overrightarrow{AM} = lambda overrightarrow{MB}$，即分比为 $lambda:1$。步骤如下：

1. 分点坐标公式：

[

x_0 = dfrac{x_1 + lambda x_2}{1 + lambda}, quad y_0 = dfrac{y_1 + lambda y_2}{1 + lambda}

]

2. 代入椭圆方程：

[

dfrac{x_1^2}{a^2} + dfrac{y_1^2}{b^2} = 1, quad dfrac{x_2^2}{a^2} + dfrac{y_2^2}{b^2} = 1

]

3. 相减并整理：

[

dfrac{(x_1

]

4. 结合分点坐标：

利用 $x_1 + lambda x_2 = (1+lambda)x_0$ 和 $y_1 + lambda y_2 = (1+lambda)y_0$，消去变量，得到关于 $lambda$ 或斜率的方程。

应用：求中点弦方程、定比分点轨迹等。

示例：求中点弦方程

若弦的中点为 $(x_0, y_0)$，则斜率 $k = -dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$，弦方程为：

[

dfrac{xx_0}{a^2} + dfrac{yy_0}{b^2} = dfrac{x_0^2}{a^2} + dfrac{y_0^2}{b^2}

]

通过以上方法，可系统解决椭圆相关的焦点弦长、分点轨迹等问题。