椭圆焦点弦长公式2ab2

2025-09-15 阅读 21 评论 0

摘要：椭圆的标准方程为(frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中(a)是长半轴，(b)是短半轴，焦距(c)满足(c^2 = a^2
b^2)，焦点坐标为((pm c,

椭圆的标准方程为(frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中(a)是长半轴，(b)是短半轴，焦距(c)满足(c^2 = a^2

椭圆焦点弦长公式2ab2

b^2)，焦点坐标为((pm c, 0))。

考虑过焦点(F_1(c, 0))的直线方程为(y = k(x

c))，将其代入椭圆方程得到：

[

frac{x^2}{a^2} + frac{[k(x

c)]^2}{b^2} = 1

]

整理并化简得到关于(x)的二次方程：

[

(b^2 + a^2 k^2)x^2

2a^2 k^2 c x + (a^2 k^2 c^2

a^2 b^2) = 0

]

根据韦达定理，根的和为(frac{2a^2 k^2 c}{b^2 + a^2 k^2})，根的积为(frac{a^2 k^2 c^2

a^2 b^2}{b^2 + a^2 k^2})。

根之差的平方为：

[

(x_1

x_2)^2 = frac{4a^2 b^4 (1 + k^2)}{(b^2 + a^2 k^2)^2}

]

根之差的绝对值为：

[

|x_1

x_2| = frac{2ab^2 sqrt{1 + k^2}}{b^2 + a^2 k^2}

]

焦点弦长(L)为：

[

L = |x_1

x_2| sqrt{1 + k^2} = frac{2ab^2 (1 + k^2)}{b^2 + a^2 k^2}

]

将斜率(k)替换为(

heta)（其中(

heta)为直线与x轴的夹角），得到：

[

L = frac{2ab^2 sec^2

heta}{b^2 + a^2

an^2

heta} = frac{2ab^2}{a^2 sin^2

heta + b^2 cos^2

heta}

]

椭圆的焦点弦长公式为：

[

boxed{dfrac{2ab^2}{a^2 sin^2

heta + b^2 cos^2

heta}}

]

原文链接：https://www.6g9.cn/bkkp/dddb2Az5XU1NXAA.html

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