椭圆焦点与短轴顶点所成角的关系

2026-04-03 阅读 58 评论 0

摘要：椭圆的标准方程为(frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中(a)是长半轴，(b)是短半轴，焦距(c)满足(c^2 = a^2
b^2)。椭圆的焦点坐标为((pm

椭圆的标准方程为(frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中(a)是长半轴，(b)是短半轴，焦距(c)满足(c^2 = a^2

椭圆焦点与短轴顶点所成角的关系

b^2)。椭圆的焦点坐标为((pm c, 0))，短轴顶点坐标为((0, pm b))。

考虑右焦点(F(c, 0))到上短轴顶点(B_1(0, b))和下短轴顶点(B_2(0, -b))所形成的角(

heta = angle B_1FB_2)。向量(overrightarrow{FB_1})为((-c, b))，向量(overrightarrow{FB_2})为((-c, -b))。

通过向量点积计算角度：

点积：((-c)(-c) + (b)(-b) = c^2

b^2)

向量模长：(sqrt{c^2 + b^2})

余弦值：[

cos

heta = frac{c^2

b^2}{(c^2 + b^2)}

]

代入椭圆关系式(c^2 = a^2

b^2)：

[

cos

heta = frac{(a^2

b^2)

b^2}{a^2} = frac{a^2 - 2b^2}{a^2} = 1 - 2left(frac{b^2}{a^2}right)

]

利用离心率(e = frac{c}{a})，其中(b^2 = a^2(1

e^2))：

[

cos

heta = 1

2(1

e^2) = 2e^2 - 1

]

通过余弦定理验证：

三角形(B_1FB_2)的底边(B_1B_2 = 2b)，两边长均为(a)

余弦定理：[

(2b)^2 = 2a^2(1

cos heta)

]

解得：

[

cos

heta = 1

2left(frac{b^2}{a^2}right)

]

最终得到椭圆焦点与短轴顶点所成角的余弦值为：

[

boxed{2e^2

]

其中(e)为椭圆的离心率。

原文链接：https://www.6g9.cn/qwsh/dd15cAD5ZW1FaDg.html

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