椭圆的焦点到原点的距离公式推导

2025-05-25 阅读 2 评论 0

摘要：1. 椭圆的标准方程：假设椭圆以原点为中心，长轴在x轴上，其标准方程为(frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中(a)是长半轴，(b)是短半轴，且满足(a > b

1. 椭圆的标准方程：假设椭圆以原点为中心，长轴在x轴上，其标准方程为(frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中(a)是长半轴，(b)是短半轴，且满足(a > b)。

椭圆的焦点到原点的距离公式推导

2. 焦点的位置：椭圆的焦点位于x轴上，坐标为((pm c, 0))，其中(c)是从中心到焦点的距离。

3. 几何关系：根据椭圆的性质，焦点到中心的距离(c)满足关系式(c^2 = a^2

b^2)，因此(c = sqrt{a^2

b^2})。

4. 推导验证：

当椭圆上的点位于长轴顶点((a, 0))时，到两个焦点的距离之和为(2a)。

当椭圆上的点位于短轴顶点((0, b))时，到两个焦点的距离之和为(2sqrt{c^2 + b^2})，由椭圆定义可知这个和等于(2a)，从而推导出(c^2 + b^2 = a^2)，即(c = sqrt{a^2

b^2})。

5. 结论：无论椭圆的长轴在x轴还是y轴上，只要中心在原点，焦点到原点的距离都是(c = sqrt{a^2

b^2})。

最终答案：

[

boxed{sqrt{a^2

b^2}}

]

其中(a)是长半轴，(b)是短半轴。

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