椭圆的焦点弦怎么求

2025-09-13 阅读 79 评论 0

摘要：1. 椭圆的标准方程和焦点位置：
椭圆的标准方程为 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)（长轴在x轴上），其中 (a) 是长半轴，(b) 是短半轴，焦距 (c

1. 椭圆的标准方程和焦点位置：

椭圆的焦点弦怎么求

椭圆的标准方程为 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)（长轴在x轴上），其中 (a) 是长半轴，(b) 是短半轴，焦距 (c = sqrt{a^2

b^2})，焦点坐标为 ((pm c, 0))。

2. 过焦点的直线方程：

假设焦点弦经过焦点 ((c, 0))，斜率为 (k)，则直线方程为 (y = k(x

c))。

3. 代入椭圆方程求解交点：

将直线方程代入椭圆方程，得到关于 (x) 的二次方程：

[

frac{x^2}{a^2} + frac{[k(x

c)]^2}{b^2} = 1

]

展开并整理后得到：

[

x^2 left( frac{1}{a^2} + frac{k^2}{b^2} right)

frac{2ck^2}{b^2}x + frac{c^2k^2}{b^2}

1 = 0

]

4. 弦长计算：

使用二次方程的根与系数关系计算弦长。设方程的两个根为 (x_1) 和 (x_2)，则弦长 (L) 为：

[

L = sqrt{(x_1

x_2)^2 + (y_1

y_2)^2} = |x_1 - x_2| sqrt{1 + k^2}

]

其中，(|x_1

x_2|) 可通过判别式计算得出。

5. 焦点弦长度公式：

使用离心率 (e = frac{c}{a}) 和倾斜角 (

heta)（斜率为 (k =

heta)），焦点弦的长度公式为：

[

L = frac{2b^2}{a(1

e^2 cos^2 heta)}

]

其中，(b) 是短半轴，(a) 是长半轴，(e) 是离心率。

结论：

椭圆的焦点弦长度公式为：当焦点弦的倾斜角为 (

heta) 时，其长度为

[

boxed{dfrac{2b^2}{a(1

e^2 cos^2 heta)}}

]

原文链接：https://www.6g9.cn/qwsh/dd1c9AD5VV1VaAg.html

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