1. 椭圆的基本性质：
椭圆的标准方程假设长轴在x轴上，方程为(frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中(a)是长半轴，(b)是短半轴，焦距为(c)，满足(a^2 = b^2 + c^2)，离心率(e = frac{c}{a})。
2. 焦点和端点的坐标：
两个焦点的位置为(F_1(c, 0))和(F_2(-c, 0))。
短轴的一个端点为(B(0, b))。
3. 正三角形的边长计算：
焦点之间的距离：(F_1F_2 = 2c)。
焦点到短轴端点的距离：(F_1B = F_2B = sqrt{c^2 + b^2})。
4. 正三角形的条件：
所有边长相等，即(2c = sqrt{c^2 + b^2})。
5. 方程求解：
平方两边得到：(4c^2 = c^2 + b^2)。
解得：(3c^2 = b^2)，即(b^2 = 3c^2)。
6. 椭圆的关系：
代入(a^2 = b^2 + c^2)得到：(a^2 = 3c^2 + c^2 = 4c^2)，即(a = 2c)。
7. 离心率计算：
离心率(e = frac{c}{a} = frac{c}{2c} = frac{1}{2})。
无论椭圆的长轴在x轴还是y轴上，结果都是相同的离心率(e = frac{1}{2})。
最终答案：
[
boxed{dfrac{1}{2}}
]
