椭圆焦点到直线的距离公式推导

1. 椭圆标准方程及焦点坐标

椭圆的标准方程为 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)（设长轴在x轴上），其焦点坐标为 ((pm c, 0))，其中 (c = sqrt{a^2

2. 点到直线的距离公式

对于直线 (Ax + By + C = 0) 和点 ((x_0, y_0))，点到直线的距离公式为：

[

d = frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{sqrt{A^2 + B^2}}

]

3. 代入焦点坐标

取焦点 ((c, 0)) 代入公式，得到：

[

d = frac{|A cdot c + B cdot 0 + C|}{sqrt{A^2 + B^2}} = frac{|A c + C|}{sqrt{A^2 + B^2}}

]

4. 用椭圆参数表示

由于 (c = sqrt{a^2

[

d = frac{left| A sqrt{a^2

]

结论

椭圆焦点到直线 (Ax + By + C = 0) 的距离公式为：

[

d = frac{left| A sqrt{a^2

]

其中，焦点坐标为 ((pm sqrt{a^2 - b^2}, 0))。