数列求通项的七种方法及例题

1. 观察法（等差、等比数列）

通过观察数列前几项的规律，直接判断等差/等比数列并写出通项。

例题：求数列 (3, 6, 12, 24, dots) 的通项公式。

解：后项与前项的比为 (2)，是等比数列，首项 (a_1=3)，公比 (r=2)，通项为：

[

a_n = 3

imes 2^{n-1}.

]

2. 累加法

适用于递推式为 (a_{n+1}

例题：已知 (a_1=1)，(a_{n+1} = a_n + 2n + 1)，求通项。

解：累加得：

[

a_n = a_1 + sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1) = 1 + (n^2

]

3. 累乘法

适用于递推式为 (a_{n+1}/a_n = f(n))，通过累乘求积。

例题：已知 (a_1=2)，(a_{n+1} = frac{n+1}{n}a_n)，求通项。

解：累乘得：

[

a_n = 2

imes prod_{k=1}^{n-1} frac{k+1}{k} = 2

imes frac{n}{1} = 2n.

]

4. 待定系数法（一阶线性递推）

处理形如 (a_{n+1} = pa_n + q) 的递推式，构造等比数列。

例题：已知 (a_1=1)，(a_{n+1} = 2a_n + 3)，求通项。

解：设 (a_{n} + c = 2(a_{n-1} + c))，解得 (c=3)，得等比数列 (b_n = a_n + 3)，通项为：

[

a_n = 2^{n+1}

]

5. 特征方程法（二阶线性递推）

处理形如 (a_{n+2} = pa_{n+1} + qa_n) 的递推关系。

例题：已知 (a_1=0)，(a_2=1)，(a_{n+2} = 5a_{n+1}

解：特征方程 (r^2

[

a_n = A cdot 2^n + B cdot 3^n.

]

代入初始条件解得 (A = -1)，(B = frac{1}{3})，通项为：

[

a_n = 3^{n-1}

]

6. 生成函数法

利用生成函数将递推关系转化为方程，求解后展开。

例题：斐波那契数列 (a_0=0)，(a_1=1)，(a_{n+2}=a_{n+1} + a_n)，求通项。

解：设生成函数 (G(x) = sum_{n=0}^infty a_n x^n)，解得：

[

G(x) = frac{x}{1

]

展开后得通项：

[

a_n = frac{1}{sqrt{5}} left( left( frac{1+sqrt{5}}{2} right)^n

]

7. 倒数变换法

对分式递推式取倒数，转化为线性递推。

例题：已知 (a_1=1)，(a_{n+1} = frac{2a_n}{a_n + 2})，求通项。

解：令 (b_n = frac{1}{a_n})，递推式变为 (b_{n+1} = frac{b_n}{2} + frac{1}{2})，解得：

[

b_n = frac{n+1}{2} quad Rightarrow quad a_n = frac{2}{n+1}.

]

总结：掌握以上七种方法，可解决大部分数列通项问题。实际应用中需灵活结合多种方法分析。