已知椭圆的长轴长与短轴长的和为20

椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，根据题意有：

[ 2a + 2b = 20 ]

简化为：

[ a + b = 10 ]

椭圆的面积公式为：

[ S = pi ab ]

为了在条件 ( a + b = 10 ) 下最大化面积 ( S )，我们可以将 ( b ) 表示为 ( 10

[ S = pi a(10

这是一个关于 ( a ) 的二次函数，开口向下，其最大值出现在顶点处。顶点的横坐标为：

[ a = frac{10}{2} = 5 ]

对应的 ( b ) 为：

[ b = 10

当 ( a = b = 5 ) 时，椭圆变为圆，其面积为：

[ S = pi

imes 5

imes 5 = 25pi ]

验证：利用算术-几何均值不等式，当 ( a + b = 10 ) 时，( sqrt{ab} leq frac{a + b}{2} = 5 )，即 ( ab leq 25 )，当且仅当 ( a = b = 5 ) 时取等号。

最终答案为：

[

boxed{25pi}

]