计算椭圆焦点弦长的公式

2026-04-29 阅读 5 评论 0

摘要：椭圆的标准方程为(frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其焦点坐标为((pm c, 0))，其中(c = sqrt{a^2
b^2})。
考虑过焦点(F(c,

椭圆的标准方程为(frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其焦点坐标为((pm c, 0))，其中(c = sqrt{a^2

计算椭圆焦点弦长的公式

b^2})。

考虑过焦点(F(c, 0))的一条直线，其斜率为(k)，则直线方程为(y = k(x

c))。将该直线方程代入椭圆方程，得到：

[

frac{x^2}{a^2} + frac{k^2(x

c)^2}{b^2} = 1

]

展开并整理得到一个关于(x)的一元二次方程：

[

(b^2 + a^2k^2)x^2

2a^2k^2cx + (a^2k^2c^2

a^2b^2) = 0

]

利用二次方程的根与系数关系，得到根的和与积：

[

x_1 + x_2 = frac{2a^2k^2c}{b^2 + a^2k^2}, quad x_1x_2 = frac{a^2k^2c^2

a^2b^2}{b^2 + a^2k^2}

]

计算弦长(L)：

[

L = sqrt{(1 + k^2) left( (x_1 + x_2)^2

4x_1x_2 right)}

]

经过详细计算和化简，得到焦点弦长的公式：

[

L = frac{2ab^2(1 + k^2)}{a^2k^2 + b^2}

]

当用倾斜角(

heta)表示直线与x轴的夹角时，(k =

heta)，代入上式并化简，得到：

[

L = frac{2ab^2}{a^2 sin^2

heta + b^2 cos^2

heta}

]

最终答案：

[

boxed{dfrac{2ab^2}{a^2 sin^2

heta + b^2 cos^2

heta}}

]

原文链接：https://www.6g9.cn/qwsh/dd3bfAD5QUVFWBFE.html

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标签：椭圆公式计算焦点

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