123456到n的数列公式求和

公式

[ S = frac{n(n+1)}{2} ]

推导过程

1. 首尾相加法

设 ( S = 1 + 2 + 3 + dots + n )，将其倒序相加：

[

begin{align}

S &= 1 + 2 + 3 + dots + n,

S &= n + (n-1) + (n-2) + dots + 1.

end{align}

]

两式相加得：

[

2S = (1+n) + (2+n-1) + (3+n-2) + dots + (n+1) = n(n+1).

]

因此：

[

S = frac{n(n+1)}{2}.

]

2. 数学归纳法

当 ( n = k + 1 ) 时，和为：

[

frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = frac{(k+1)(k+2)}{2},

]

即公式对 ( n = k + 1 ) 也成立。

由数学归纳法，公式对所有自然数 ( n ) 成立。

例子

此公式适用于所有自然数 ( n )，是求连续自然数和的经典方法。