如何计算椭圆焦点弦的长度？

2025-09-14 阅读 103 评论 0

摘要：1. 椭圆方程和焦点坐标：
椭圆的標準方程为 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中 (a) 是长半轴，(b) 是短半轴，焦距 (c = sqrt{a^2

1. 椭圆方程和焦点坐标：

如何计算椭圆焦点弦的长度？

椭圆的標準方程为 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中 (a) 是长半轴，(b) 是短半轴，焦距 (c = sqrt{a^2

b^2})，焦点坐标为 ((pm c, 0))。

2. 过焦点的直线方程：

假设过焦点 (F(c, 0)) 的直线的斜率为 (k)，则直线方程为 (y = k(x

c))。

3. 联立方程求交点：

将直线方程代入椭圆方程，得到：

[

frac{x^2}{a^2} + frac{[k(x

c)]^2}{b^2} = 1

]

展开并整理得到关于 (x) 的二次方程：

[

left(frac{1}{a^2} + frac{k^2}{b^2}right)x^2

frac{2c k^2}{b^2}x + left(frac{k^2 c^2}{b^2}

1right) = 0

]

4. 求根公式计算交点：

使用二次方程求根公式，解出两个交点的 (x) 坐标，并计算对应的 (y) 坐标。

5. 焦点弦长度计算：

计算两个交点之间的距离。通过化简，得到焦点弦长度 (L) 的表达式：

[

L = frac{2ab^2(1 + k^2)}{b^2 + a^2k^2}

]

其中 (k) 是直线的斜率。

6. 用倾斜角 (

heta) 表示：

令 (k =

heta)，代入得到：

[

L = frac{2ab^2}{a^2 sin^2

heta + b^2 cos^2

heta}

]

7. 用离心率 (e) 表示：

椭圆的离心率 (e = frac{c}{a} = frac{sqrt{a^2

b^2}}{a})，代入得到：

[

L = frac{2a(1

e^2)}{1

e^2 cos^2 heta}

]

最终，椭圆焦点弦的长度可以用倾斜角 (

heta) 表示为：

[

boxed{dfrac{2ab^2}{a^2 sin^2

heta + b^2 cos^2

heta}}

]

原文链接：https://www.6g9.cn/qwsh/dd8b6AD5SUVNVBA.html

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