椭圆的点到焦点距离

2025-09-13 阅读 45 评论 0

摘要：1. 椭圆定义与标准方程：椭圆的标准方程为 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中 (a) 是长半轴，(b) 是短半轴。焦点坐标为 ((pm c, 0))，满

1. 椭圆定义与标准方程：椭圆的标准方程为 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中 (a) 是长半轴，(b) 是短半轴。焦点坐标为 ((pm c, 0))，满足 (c^2 = a^2

椭圆的点到焦点距离

b^2)，离心率 (e = frac{c}{a} < 1)。

2. 距离公式：对于椭圆上一点 (P(x, y))，到右焦点 ((c, 0)) 的距离为：

[

d = sqrt{(x

c)^2 + y^2}

]

代入椭圆方程 (y^2 = b^2left(1

frac{x^2}{a^2}right)) 得：

[

d = sqrt{(x

c)^2 + b^2left(1

frac{x^2}{a^2}right)}

]

3. 简化表达式：通过代数化简，并利用 (c = ae) 和 (b^2 = a^2(1

e^2))，最终可得到：

[

d = a

e x

]

类似地，到左焦点 ((-c, 0)) 的距离为：

[

d' = a + e x

]

4. 参数方程形式：若用参数 (

heta) 表示椭圆上的点 ((acos

heta, bsin

heta))，则到右焦点的距离为：

[

d = a(1

e cos heta)

]

到左焦点的距离为：

[

d' = a(1 + e cos

heta)

]

结论：椭圆上任意一点 ((x, y)) 到右焦点 ((c, 0)) 的距离为 (boxed{a - e x})，到左焦点 ((-c, 0)) 的距离为 (boxed{a + e x})，其中 (e = frac{c}{a}) 是离心率。

原文链接：https://www.6g9.cn/qwsh/ddc80AD5VVldSDw.html

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