椭圆焦点公式大全

2025-09-14 阅读 147 评论 0

摘要：1. 标准方程
长轴在x轴上：
(frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1 quad (a > b))
焦点坐标：((pm c, 0))，其中 (c = sqrt{

1. 标准方程

长轴在x轴上：

(frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1 quad (a > b))

椭圆焦点公式大全

焦点坐标：((pm c, 0))，其中 (c = sqrt{a^2

b^2})。

长轴在y轴上：

(frac{x^2}{b^2} + frac{y^2}{a^2} = 1 quad (a > b))

焦点坐标：((0, pm c))，其中 (c = sqrt{a^2

b^2})。

2. 焦距与离心率

焦距（两焦点间距离）：(2c)。

离心率：

(e = frac{c}{a} quad (0 < e < 1))，离心率越大，椭圆越扁。

3. 几何性质

点到两焦点的距离之和：椭圆上任意一点 (P(x, y)) 到两焦点的距离之和为 (2a)，即：

(PF_1 + PF_2 = 2a)。

4. 焦半径公式

长轴在x轴上：

点 (P(x, y)) 到左焦点 ((-c, 0)) 的距离：(r_1 = a + ex)；

到右焦点 ((c, 0)) 的距离：(r_2 = a

ex)，其中 (e = frac{c}{a})。

长轴在y轴上：

点 (P(x, y)) 到上焦点 ((0, c)) 的距离：(r_1 = a

ey)；

到下焦点 ((0, -c)) 的距离：(r_2 = a + ey)，其中 (e = frac{c}{a})。

5. 通径长度

垂直于长轴且过焦点的弦长：

(2 frac{b^2}{a})。

6. 极坐标方程（以右焦点为极点）

长轴在x轴上：

(r = frac{a(1

e^2)}{1 + e cos

heta} = frac{b^2/a}{1 + e cos

heta})，其中 (e = frac{c}{a})。

7. 点到焦点的最值

长轴在x轴上：

右焦点 ((c, 0)) 到右顶点 ((a, 0)) 的距离最近，为 (a

c)；

到左顶点 ((-a, 0)) 的距离最远，为 (a + c)。

长轴在y轴上：

上焦点 ((0, c)) 到上顶点 ((0, a)) 的距离最近，为 (a

c)；

到下顶点 ((0, -a)) 的距离最远，为 (a + c)。

8. 光学性质

光线从一个焦点出发，经椭圆反射后必经过另一焦点。

参数关系总结

(c = sqrt{a^2

b^2})

(e = frac{c}{a})

(a^2 = b^2 + c^2)

这些公式涵盖了椭圆焦点的基本性质和应用，适用于不同方向的椭圆及几何问题的求解。

原文链接：https://www.6g9.cn/qwsh/ddce7AD5SWlNaBQ.html

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