椭圆已知长短轴求焦距

2025-09-13 阅读 97 评论 0

摘要：1. 椭圆的标准方程和参数关系：
椭圆的标准方程为 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中 (a) 是长半轴，(b) 是短半轴。长轴的全长为 (2a)，短轴

1. 椭圆的标准方程和参数关系：

椭圆已知长短轴求焦距

椭圆的标准方程为 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中 (a) 是长半轴，(b) 是短半轴。长轴的全长为 (2a)，短轴的全长为 (2b)。焦距与半长轴和半短轴的关系为 (c^2 = a^2

b^2)，其中 (c) 是焦点到椭圆中心的距离（半焦距）。

2. 焦距的计算：

当已知长半轴 (a) 和短半轴 (b) 时，半焦距 (c = sqrt{a^2

b^2})，因此焦距为 (2c = 2sqrt{a^2 - b^2})。

如果已知长轴的全长 (L) 和短轴的全长 (S)，则长半轴 (a = frac{L}{2})，短半轴 (b = frac{S}{2})。此时焦距的计算公式为：

[

ext{焦距} = sqrt{L^2

S^2}

]

3. 验证示例：

例如，长轴全长为10，短轴全长为8，则焦距为 (sqrt{10^2

8^2} = sqrt{100 - 64} = sqrt{36} = 6)。

用半轴计算，长半轴 (a = 5)，短半轴 (b = 4)，则半焦距 (c = sqrt{5^2

4^2} = 3)，焦距为 (2 imes 3 = 6)，结果一致。

4. 结论：

当已知长半轴 (a) 和短半轴 (b) 时，焦距为 (boxed{sqrt{a^2

b^2}})。

当已知长轴全长 (L) 和短轴全长 (S) 时，焦距为 (boxed{sqrt{L^2 - S^2}})。

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