椭圆已知焦点坐标和一个点

2025-04-29 #椭圆 #已知 #坐标 #焦点阅读量：7

步骤详解：

1. 确定椭圆的中心：

椭圆已知焦点坐标和一个点

椭圆的中心是两个焦点的中点，坐标为：

[

left( frac{x_1 + x_2}{2}, frac{y_1 + y_2}{2} right)

]

2. 计算焦距 (c)：

[

c = sqrt{left( frac{x_2

x_1}{2} right)^2 + left( frac{y_2

y_1}{2} right)^2}

]

3. 计算长半轴 (a)：

利用椭圆上已知点 (P(x_0, y_0)) 到两个焦点的距离之和等于 (2a)：

[

2a = sqrt{(x_0

x_1)^2 + (y_0

y_1)^2} + sqrt{(x_0 - x_2)^2 + (y_0 - y_2)^2}

]

解出 (a = frac{

ext{距离和}}{2})。

4. 计算短半轴 (b)：

由椭圆的基本关系式 (a^2 = b^2 + c^2)，解得：

[

b = sqrt{a^2

c^2}

]

5. 确定椭圆方向并写出方程：

若焦点在水平线上（y坐标相同），长轴平行于x轴：

[

frac{(x

h)^2}{a^2} + frac{(y

k)^2}{b^2} = 1

]

若焦点在垂直线上（x坐标相同），长轴平行于y轴：

[

frac{(x

h)^2}{b^2} + frac{(y

k)^2}{a^2} = 1

]

其中 ((h, k)) 是椭圆中心。

示例：

已知：焦点 (F_1(-3, 0)) 和 (F_2(3, 0))，椭圆上一点 (P(0, 4))。

求解：

1. 中心：(left( frac{-3 + 3}{2}, frac{0 + 0}{2} right) = (0, 0))。

2. 焦距 (c)：(c = 3)。

3. 计算 (a)：

[

2a = sqrt{(0 + 3)^2 + (4

0)^2} + sqrt{(0

3)^2 + (4 - 0)^2} = 5 + 5 = 10 Rightarrow a = 5

]

4. 计算 (b)：

[

b = sqrt{5^2

3^2} = sqrt{16} = 4

]

5. 椭圆方程（长轴在x轴）：

[

frac{x^2}{25} + frac{y^2}{16} = 1

]

最终答案：

对于焦点在 ((-3, 0)) 和 ((3, 0))，且过点 ((0, 4)) 的椭圆，其标准方程为：

[

boxed{frac{x^2}{25} + frac{y^2}{16} = 1}

]

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示例：

最终答案：