椭圆长轴端点坐标

2025-05-17 #长轴 #端点 #椭圆 #坐标阅读量：1

1. 将椭圆方程化为标准形式：

椭圆长轴端点坐标

标准形式为：

长轴沿x轴：$frac{(x-h)^2}{a^2} + frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$，其中 $a > b$。

长轴沿y轴：$frac{(x-h)^2}{b^2} + frac{(y-k)^2}{a^2} = 1$，其中 $a > b$。

中心坐标为 $(h, k)$，$a$ 为长半轴长度。

2. 确定长轴方向：

比较分母大小，较大的分母对应的变量方向为长轴方向。例如：

若 $frac{(x-h)^2}{a^2}$ 的分母更大，则长轴沿x轴。

若 $frac{(y-k)^2}{a^2}$ 的分母更大，则长轴沿y轴。

3. 计算端点坐标：

长轴沿x轴：端点为 $(h pm a, k)$。

长轴沿y轴：端点为 $(h, k pm a)$。

示例：

椭圆方程 $4x^2 + 9y^2

16x + 18y = 11$，配方后化简为：

$$frac{(x-2)^2}{9} + frac{(y+1)^2}{4} = 1$$

中心为 $(2, -1)$，长半轴 $a = 3$，长轴沿x轴。

端点坐标：$(2 pm 3, -1)$，即 $(5, -1)$ 和 $(-1, -1)$。

验证：

将端点代入方程，如 $(5, -1)$：

$$frac{(5-2)^2}{9} + frac{(-1+1)^2}{4} = 1 + 0 = 1$$

结果正确。

最终答案：

椭圆长轴端点坐标为 $(h pm a, k)$（沿x轴）或 $(h, k pm a)$（沿y轴）。