椭圆焦点弦性质大全

2025-09-14 阅读 77 评论 0

摘要：1. 焦点弦的长度
对于倾斜角为θ（相对于长轴）的焦点弦，其长度为：
[
L = frac{2a(1
e^2)}{1
e^2 cos^2
heta} = frac{2b^2}{a(1 -

1. 焦点弦的长度

椭圆焦点弦性质大全

对于倾斜角为θ（相对于长轴）的焦点弦，其长度为：

[

L = frac{2a(1

e^2)}{1

e^2 cos^2

heta} = frac{2b^2}{a(1 - e^2 cos^2

heta)},

]

其中( e = frac{c}{a} )为离心率，( c = sqrt{a^2

b^2} )。

2. 极坐标形式

以焦点为极点，焦点弦长度的极坐标表示为：

[

L = frac{2a(1

e^2)}{1

e^2 cos^2 heta},

]

θ为极角。

3. 极值长度

最小长度：当焦点弦垂直于长轴（通径），长度为：

[

L_{

ext{min}} = frac{2b^2}{a}.

]

最大长度：当焦点弦与长轴重合，长度为长轴长：

[

L_{

ext{max}} = 2a.

]

4. 中点轨迹

焦点弦中点的轨迹是一个椭圆，方程为：

[

frac{left(x

frac{c}{2}right)^2}{left(frac{c}{2}right)^2} + frac{y^2}{left(frac{bc}{2a}right)^2} = 1,

]

中心在( left(frac{c}{2}, 0right) )，半长轴( frac{c}{2} )，半短轴( frac{bc}{2a} )。

5. 平行性

焦点弦中点与焦点的连线平行于原焦点弦的斜率。

6. 垂直平分线

当焦点弦为通径时，其垂直平分线为长轴，经过椭圆中心。

一般情况下，垂直平分线不一定过特定点。

7. 通径性质

过焦点且垂直于长轴的弦（通径）长度：

[

L_{

ext{通径}} = frac{2b^2}{a}.

]

8. 离心率影响

随着离心率( e )增大，通径长度减小，焦点弦长度变化范围增大。

推导示例：

以直角坐标系中焦点弦长度的计算为例，设过焦点( F(c, 0) )的直线方程为( y = m(x

c) )，代入椭圆方程：

[

frac{x^2}{a^2} + frac{m^2(x

c)^2}{b^2} = 1,

]

解得交点横坐标满足二次方程：

[

(b^2 + a^2m^2)x^2

2a^2m^2cx + a^2(m^2c^2

b^2) = 0.

]

利用根与系数关系及距离公式，最终得到长度：

[

L = frac{2ab^2(1 + m^2)}{b^2 + a^2m^2},

]

进一步转化为关于离心率( e )的表达式。

这些性质涵盖了椭圆焦点弦的几何特性、长度变化规律及中点轨迹等关键内容，适用于解析几何问题中的分析与应用。

原文链接：https://www.6g9.cn/bkkp/ddc43Az5WU1hQ.html

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