椭圆的焦点弦公式角度及其推导

2026-04-18 阅读 92 评论 0

摘要：焦点弦长度公式：
当焦点弦与长轴的夹角为θ时，其长度 ( L ) 为：
[
L = frac{2b^2}{a (1
e^2 cos^2θ)} = frac{2a(1
e^2)}{1 - e^

焦点弦长度公式：

椭圆的焦点弦公式角度及其推导

当焦点弦与长轴的夹角为θ时，其长度 ( L ) 为：

[

L = frac{2b^2}{a (1

e^2 cos^2θ)} = frac{2a(1

e^2)}{1 - e^2 cos^2θ}

]

其中，( a ) 是长半轴，( b ) 是短半轴，( e = frac{c}{a} = sqrt{1

frac{b^2}{a^2}} ) 为离心率。

推导过程：

1. 椭圆方程与直线方程联立

设椭圆的标准方程为 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，焦点在 ((c, 0))，其中 ( c = sqrt{a^2

b^2} )。过焦点的直线方程为 ( y =

anθ cdot (x

c) )，将其代入椭圆方程：

[

frac{x^2}{a^2} + frac{

an^2θ cdot (x

c)^2}{b^2} = 1

]

2. 整理二次方程

展开并整理得到关于 ( x ) 的方程：

[

x^2 left( frac{1}{a^2} + frac{

an^2θ}{b^2} right)

frac{2c

an^2θ}{b^2} x + frac{c^2

an^2θ}{b^2}

1 = 0

]

3. 求解根差与弦长

利用二次方程根的差公式 ( |x_1

x_2| = frac{sqrt{B^2

4AC}}{A} )，其中 ( A = frac{1}{a^2} + frac{

an^2θ}{b^2} )，( B = -frac{2c

an^2θ}{b^2} )，( C = frac{c^2

an^2θ}{b^2} - 1 )。经化简后得到根差：

[

|x_1

x_2| = frac{2ab^2 secθ}{a^2 sin^2θ + b^2 cos^2θ}

]

弦长 ( L = |x_1

x_2| cdot secθ )，最终得：

[

L = frac{2ab^2}{a^2 sin^2θ + b^2 cos^2θ}

]

4. 用离心率表示

代入 ( b^2 = a^2(1

e^2) ) 和 ( sin^2θ + cos^2θ = 1 )，进一步化简为：

[

L = frac{2a(1

e^2)}{1

e^2 cos^2θ}

]

结论：

焦点弦长度与角度θ的关系由上述公式给出。当θ为0或π时（沿长轴），弦长为 ( 2a )；当θ为π/2时（垂直于长轴），弦长为 ( frac{2b^2}{a} )，与椭圆几何性质一致。

boxed{L = frac{2b^2}{a (1 - e^2 cos^2θ)}}

原文链接：https://www.6g9.cn/bkkp/ddd5fAz5QUlRSAVU.html

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