椭圆点到焦点最短距离是多少

2025-05-19 阅读 1 评论 0

摘要：c )，其中 ( c = sqrt{a^2
b^2} )。具体推导如下：
1. 椭圆参数方程与焦点位置：
椭圆的标准方程为 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} =

c )，其中 ( c = sqrt{a^2

b^2} )。具体推导如下：

1. 椭圆参数方程与焦点位置：

椭圆点到焦点最短距离是多少

椭圆的标准方程为 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，焦点坐标为 ((pm c, 0))，其中 ( c = sqrt{a^2

b^2} )。

2. 距离表达式：

椭圆上一点 ( P(acos

heta, bsin

heta) ) 到焦点 ( (c, 0) ) 的距离平方为：

[

d^2 = (acos

heta

c)^2 + (bsin heta)^2.

]

3. 代数化简：

展开并代入 ( c^2 = a^2

b^2 )，化简后得到关于 ( cos heta ) 的二次函数，其最小值在 ( x = a ) 或 ( x = -a ) 处取得。

4. 几何分析：

右顶点 ( (a, 0) ) 到焦点 ( (c, 0) ) 的距离为 ( a

c )，左顶点 ( (-a, 0) ) 的距离为 ( a + c )。显然，最小值出现在右顶点。

5. 验证与结论：

通过导数法验证，临界点仅在 (

heta = 0 ) 或 ( pi )，对应右顶点和左顶点。最短距离为 ( a

c )。

答案：椭圆点到焦点的最短距离是 ( a - c )，即 ( a - sqrt{a^2 - b^2} )。

标签：短距离椭圆点到多少