1. 长轴与焦点位置：
长轴是椭圆的最长直径，长度为(2a)（半长轴为(a)）。
焦点位于长轴上，对称分布于椭圆中心两侧，距离中心的距离为(c)（焦距）。
焦距满足关系式：(c^2 = a^2
b^2)，其中(b)为半短轴长度。
2. 椭圆的标准方程：
长轴在x轴上：(frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，焦点坐标为((pm c, 0))。
长轴在y轴上：(frac{x^2}{b^2} + frac{y^2}{a^2} = 1)，焦点坐标为((0, pm c))。
3. 离心率：
离心率(e = frac{c}{a})，取值范围为(0 < e < 1)。离心率越接近0，椭圆越接近圆形；越接近1，椭圆越扁长。
4. 示例分析：
例1：焦点在((pm 3, 0))，长轴长10，则(a=5)，(c=3)，解得(b=4)，方程为(frac{x^2}{25} + frac{y^2}{16} = 1)。
例2：焦点在((pm 2, 0))，过点((0, 3))，解得(a^2=13)，(b^2=9)，方程为(frac{x^2}{13} + frac{y^2}{9} = 1)。
5. 验证关键性质：
椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为(2a)，如顶点((a, 0))和短轴顶点((0, b))均满足此条件。
结论：椭圆的长轴决定了焦点的位置，焦距与半轴长度通过(c^2 = a^2 - b^2)关联，离心率描述形状特征。通过标准方程和几何性质，可准确确定椭圆的参数。
