椭圆焦点到椭圆的距离

2025-09-14 阅读 27 评论 0

摘要：椭圆的标准方程为(frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中(a)是长半轴，(b)是短半轴，且(a > b)。椭圆的焦点坐标为((pm c, 0))，其中(c =

椭圆的标准方程为(frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中(a)是长半轴，(b)是短半轴，且(a > b)。椭圆的焦点坐标为((pm c, 0))，其中(c = sqrt{a^2

椭圆焦点到椭圆的距离

b^2})。

为了求解椭圆焦点到椭圆的距离，我们考虑椭圆上一点(P(x, y))到焦点(F_1(c, 0))的距离。使用参数方程表示椭圆上的点(P(a cos

heta, b sin

heta))，则距离的平方为：

[

d^2 = (a cos

heta

c)^2 + (b sin heta)^2

]

展开并简化：

[

d^2 = a^2 cos^2

heta

2ac cos

heta + c^2 + b^2 sin^2

heta

]

将(sin^2

heta = 1

cos^2 heta)代入：

[

d^2 = a^2 cos^2

heta

2ac cos

heta + c^2 + b^2(1

cos^2 heta)

]

[

= (a^2

b^2) cos^2

heta

2ac cos heta + c^2 + b^2

]

由于(a^2

b^2 = c^2)，因此：

[

d^2 = c^2 cos^2

heta

2ac cos heta + a^2

]

这可以表示为：

[

d^2 = (c cos

heta

a)^2

]

距离(d = |c cos

heta

a|)。当(cos

heta = 1)时，即点(P(a, 0))，距离最小为(a

c)；当(cos heta = -1)时，即点(P(-a, 0))，距离最大为(a + c)。

最终，椭圆焦点到椭圆的最近距离为：

[

boxed{a

sqrt{a^2

b^2}}

]

最远距离为：

[

boxed{a + sqrt{a^2

b^2}}

]

原文链接：https://www.6g9.cn/bkkp/ddf6bAz5VVFZWDg.html

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