数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,...求和

[

S(n) = frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + left(n

]

其中，( k = leftlfloor frac{sqrt{8n + 1}

推导过程：

1. 确定位置k：

找到最大的整数k，使得前k个自然数构成的块总项数不超过n。通过解不等式 ( frac{k(k+1)}{2} < n leq frac{(k+1)(k+2)}{2} )，得到 ( k = leftlfloor frac{sqrt{8n + 1}

2. 计算完整块的和：

前k个完整块的和为自然数平方和公式：

[

sum_{i=1}^k i^2 = frac{k(k+1)(2k+1)}{6}

]

3. 计算剩余项的和：

剩余项数为 ( m = n

4. 总和的合成：

将完整块和剩余部分相加，即得到前n项的总和。

示例验证：

该公式有效且普适，适用于任意正整数n。