椭圆方程的焦点坐标

2025-11-07 阅读 2 评论 0

摘要：椭圆的标准方程为(frac{(x-h)^2}{a^2} + frac{(y-k)^2}{b^2} = 1)（水平主轴）或(frac{(x-h)^2}{b^2} + frac{(y-k)^2}{a^2}

椭圆的标准方程为(frac{(x-h)^2}{a^2} + frac{(y-k)^2}{b^2} = 1)（水平主轴）或(frac{(x-h)^2}{b^2} + frac{(y-k)^2}{a^2} = 1)（垂直主轴），其中(a > b)。焦点坐标的求解步骤如下：

椭圆方程的焦点坐标

1. 化为标准形式：若方程不是标准形式，需通过配方整理。例如，对一般方程(Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0)，将(x)和(y)项分别配方，转化为(frac{(x-h)^2}{a^2} + frac{(y-k)^2}{b^2} = 1)。

2. 确定中心和主轴方向：

中心坐标为((h, k))。

比较分母(a^2)和(b^2)的大小。若(a^2 > b^2)且位于(x)项，则主轴水平；若位于(y)项，则主轴垂直。

3. 计算焦距(c)：根据公式(c = sqrt{a^2

b^2})（(a > b)）。

4. 确定焦点坐标：

水平主轴：焦点在中心沿(x)方向移动±(c)，即坐标为((h pm c, k))。

垂直主轴：焦点在中心沿(y)方向移动±(c)，即坐标为((h, k pm c))。

示例：椭圆方程(4x^2 + 9y^2

16x + 18y = 11)，配方后得(frac{(x-2)^2}{9} + frac{(y+1)^2}{4} = 1)。中心为((2, -1))，(a=3)，(b=2)，主轴水平，(c=sqrt{5})。焦点坐标为((2 pm sqrt{5}, -1))。

答案：椭圆焦点坐标为沿主轴方向距中心(pm sqrt{a^2 - b^2})处，具体坐标由主轴方向确定。

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