椭圆焦点距离不变证明

1. 椭圆定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）的距离之和为常数（2a）的点的轨迹，其中a为椭圆的长半轴。

2. 焦点位置：椭圆的两个焦点F₁和F₂位于长轴上，对称分布于中心两侧，距离中心的距离为c，满足关系式：

$$

c^2 = a^2

$$

其中b是椭圆的短半轴。

3. 焦点间距：焦点F₁和F₂之间的距离为2c。将上述关系式代入得：

$$

2c = 2sqrt{a^2

$$

4. 恒定性证明：对于给定的椭圆，长半轴a和短半轴b均为定值，因此c也是定值。由此可知，焦点间距2c必然保持恒定。

结论：椭圆的两个焦点之间的距离由长半轴a和短半轴b唯一确定，且始终为定值2c，其中c = √(a² - b²)。对于任意确定的椭圆，其焦点间距不变。