椭圆短轴顶点和焦点的连线所成的角

2025-09-16 阅读 101 评论 0

摘要：椭圆的标准方程为 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中 (a) 是长半轴，(b) 是短半轴，且满足 (a > b)。椭圆的焦点坐标为 ((pm c, 0))

椭圆的标准方程为 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中 (a) 是长半轴，(b) 是短半轴，且满足 (a > b)。椭圆的焦点坐标为 ((pm c, 0))，其中 (c = sqrt{a^2

椭圆短轴顶点和焦点的连线所成的角

b^2})。

考虑短轴顶点 ((0, b)) 到两个焦点 ((c, 0)) 和 ((-c, 0)) 的连线所形成的角。这两个连线的向量分别为 ((c, -b)) 和 ((-c, -b))。

使用向量点积公式计算这两个向量之间的夹角 (

heta)：

1. 向量点积：((c, -b) cdot (-c, -b) = -c^2 + b^2)

2. 向量长度：(sqrt{c^2 + b^2})

3. 余弦值计算：

[

cos

heta = frac{-c^2 + b^2}{(c^2 + b^2)} = frac{b^2

c^2}{b^2 + c^2}

]

代入 (c^2 = a^2

b^2)：

[

cos

heta = frac{b^2

(a^2

b^2)}{a^2} = frac{2b^2 - a^2}{a^2}

]

椭圆短轴顶点和焦点的连线所成的角的余弦值为：

[

boxed{dfrac{2b^2

a^2}{a^2}}

]

标签：椭圆顶点连线焦点