椭圆已知焦点求方程公式

2025-05-15 #椭圆 #已知 #方程 #公式阅读量：3

当椭圆的两个焦点坐标为((x_1, y_1))和((x_2, y_2))时，椭圆的标准方程可按以下步骤确定：

椭圆已知焦点求方程公式

1. 确定中心：椭圆的中心((h, k))为两焦点的中点，即

[

h = frac{x_1 + x_2}{2}, quad k = frac{y_1 + y_2}{2}

]

2. 计算焦距(c)：中心到任一焦点的距离，即

[

c = sqrt{left(frac{x_2

x_1}{2}right)^2 + left(frac{y_2

y_1}{2}right)^2}

]

3. 确定长轴方向：

若焦点在水平方向（即(y_1 = y_2)），长轴平行于x轴，标准方程为

[

frac{(x

h)^2}{a^2} + frac{(y

k)^2}{b^2} = 1 quad (a > b)

]

其中(c^2 = a^2

b^2)。

若焦点在垂直方向（即(x_1 = x_2)），长轴平行于y轴，标准方程为

[

frac{(x

h)^2}{b^2} + frac{(y

k)^2}{a^2} = 1 quad (a > b)

]

同样满足(c^2 = a^2

b^2)。

4. 结合已知参数求解：若已知长半轴(a)或短半轴(b)，代入上述方程即可得到具体表达式。例如，已知(a)时，

[

b = sqrt{a^2

c^2}

]

椭圆的标准方程根据焦点位置及方向确定，最终形式为：

当焦点在水平方向时：

[

boxed{frac{(x

h)^2}{a^2} + frac{(y

k)^2}{b^2} = 1}

]

当焦点在垂直方向时：

[

boxed{frac{(x

h)^2}{b^2} + frac{(y

k)^2}{a^2} = 1}

]

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