椭圆焦点距离之和

2025-08-29 阅读 3 评论 0

摘要：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即 2a，其中 a 是椭圆的半长轴长度。
推导过程：
1. 椭圆定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）的距离之和为常数的点的轨迹。这个常数即为

椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即 2a，其中 a 是椭圆的半长轴长度。

椭圆焦点距离之和

推导过程：

1. 椭圆定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）的距离之和为常数的点的轨迹。这个常数即为 2a。

2. 标准方程：椭圆的标准方程为 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)（(a > b)），焦点坐标为 ((pm c, 0))，其中 (c = sqrt{a^2

b^2})。

3. 几何验证：

当点位于右顶点 ((a, 0)) 时，到两个焦点的距离之和为 ((a

c) + (a + c) = 2a)。

当点位于上顶点 ((0, b)) 时，到焦点的距离为 (sqrt{c^2 + b^2} = a)，因此和为 (a + a = 2a)。

4. 代数验证：

使用参数方程 (x = a cos

heta), (y = b sin

heta)，计算任一点到焦点的距离之和：

[

d_1 + d_2 = sqrt{(a cos

heta

c)^2 + (b sin

heta)^2} + sqrt{(a cos

heta + c)^2 + (b sin

heta)^2}

]

展开并化简可得 ((d_1 + d_2)^2 = 4a^2)，因此 (d_1 + d_2 = 2a)。

椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和恒为 2a，即长轴的长度。

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