椭圆焦点弦性质大全
1. 焦点弦的长度
对于倾斜角为θ（相对于长轴）的焦点弦，其长度为：
[
L = frac{2a(1
heta} = frac{2b^2}{a(1 - e^2 cos^2
heta)},]
其中( e = frac{c}{a} )为离心率，( c = sqrt{a^2
2. 极坐标形式
以焦点为极点，焦点弦长度的极坐标表示为：
[
L = frac{2a(1
]
θ为极角。
3. 极值长度
[
L_{
ext{min}} = frac{2b^2}{a}.
]
[
L_{
ext{max}} = 2a.
]
4. 中点轨迹
焦点弦中点的轨迹是一个椭圆，方程为：
[
frac{left(x
]
中心在( left(frac{c}{2}, 0right) )，半长轴( frac{c}{2} )，半短轴( frac{bc}{2a} )。
5. 平行性
焦点弦中点与焦点的连线平行于原焦点弦的斜率。
6. 垂直平分线
7. 通径性质
过焦点且垂直于长轴的弦（通径）长度：
[
L_{
ext{通径}} = frac{2b^2}{a}.
]
8. 离心率影响
随着离心率( e )增大，通径长度减小，焦点弦长度变化范围增大。
推导示例：
以直角坐标系中焦点弦长度的计算为例，设过焦点( F(c, 0) )的直线方程为( y = m(x
[
frac{x^2}{a^2} + frac{m^2(x
]
解得交点横坐标满足二次方程：
[
(b^2 + a^2m^2)x^2
]
利用根与系数关系及距离公式，最终得到长度：
[
L = frac{2ab^2(1 + m^2)}{b^2 + a^2m^2},
]
进一步转化为关于离心率( e )的表达式。
这些性质涵盖了椭圆焦点弦的几何特性、长度变化规律及中点轨迹等关键内容，适用于解析几何问题中的分析与应用。