椭圆焦点弦公式推导过程

2025-09-10 阅读 72 评论 0

摘要：1. 极坐标方法推导：
以椭圆右焦点为极点，椭圆的极坐标方程为：
[
r = frac{a(1
e^2)}{1 + e cos
heta}
]
其中，(e = frac{c}{a}) 为

1. 极坐标方法推导：

椭圆焦点弦公式推导过程

以椭圆右焦点为极点，椭圆的极坐标方程为：

[

r = frac{a(1

e^2)}{1 + e cos heta}

]

其中，(e = frac{c}{a}) 为离心率，(c = sqrt{a^2

b^2}) 为焦距。

焦点弦的两个端点对应极角 (

heta) 和 (

heta + pi)，其极径分别为：

[

r_1 = frac{a(1

e^2)}{1 + e cos

heta}, quad r_2 = frac{a(1

e^2)}{1 - e cos heta}

]

弦长 (L) 为两端点距离之和：

[

L = r_1 + r_2 = a(1

e^2)left(frac{1}{1 + e cos

heta} + frac{1}{1

e cos heta}right)

]

通分化简后得到：

[

L = frac{2a(1

e^2)}{1

e^2 cos^2

heta} = frac{2b^2}{a(1 - e^2 cos^2

heta)}

]

2. 代数方法推导：

设焦点弦过右焦点 ((c, 0))，直线方程为 (y = k(x

c))，代入椭圆方程：

[

frac{x^2}{a^2} + frac{k^2(x

c)^2}{b^2} = 1

]

整理后得到关于 (x) 的二次方程。利用根与系数关系及弦长公式 (L = sqrt{(x_1

x_2)^2 + (y_1

y_2)^2})，最终化简可得：

[

L = frac{2b^2(1 + k^2)}{a(1 + k^2

e^2)}

]

将 (k =

heta) 代入，并与极坐标结果一致，验证公式正确性。

最终公式：

椭圆焦点弦的长度为：

[

L = frac{2b^2}{a(1

e^2 cos^2 heta)}

]

[

L = frac{2a(1

e^2)}{1

e^2 cos^2 heta}

]

其中 (

heta) 为焦点弦的倾斜角，(e) 为离心率，(a) 和 (b) 分别为椭圆的长半轴和短半轴。

原文链接：https://www.6g9.cn/qwsh/dd8bfAD5UVlhVAw.html

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