斐波那契递推公式推导

2025-09-14 阅读 65 评论 0

摘要：斐波那契数列的递推公式 ( F(n) = F(n-1) + F(n-2) ) 可以通过以下步骤推导：
1. 问题背景（兔子繁殖模型）
假设初始有一对刚出生的兔子，成长规则如下：
出生后第2个月：

斐波那契数列的递推公式 ( F(n) = F(n-1) + F(n-2) ) 可以通过以下步骤推导：

斐波那契递推公式推导

1. 问题背景（兔子繁殖模型）

假设初始有一对刚出生的兔子，成长规则如下：

出生后第2个月：兔子成熟，开始每月生一对新兔子。

每月结束时：所有成熟兔子会生一对新兔子，新生兔子下个月算作未成熟。

第1个月：1对未成熟兔子（( F(1) = 1 )）。

第2个月：1对成熟兔子（( F(2) = 1 )），未生育。

第3个月：原1对成熟兔子生1对，总数 ( F(3) = 2 )。

第4个月：原1对再生1对，总数 ( F(4) = 3 )。

依此类推，发现每月新增的兔子数等于前一个月的总兔子数与前两个月总兔子数之和。

新出生兔子数：等于两个月前的总数（因为只有两个月前的兔子此时已成熟并生育）。

总兔子数 = 上个月的兔子数（已有的兔子） + 新出生的兔子数（由两个月前的兔子生育）。

递推公式为：

[

F(n) = F(n-1) quad

ext{（已有兔子）} quad + quad F(n-2) quad

ext{（新出生兔子）}

]

通常设定 ( F(0) = 0 )，( F(1) = 1 )，后续项按递推公式计算：

( F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1 )

( F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2 )

( F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3 )，以此类推。

斐波那契数列的递推公式 ( F(n) = F(n-1) + F(n-2) ) 源于兔子繁殖模型中，新兔子的数量由两个月前的成熟兔子决定，而总数量则为上月存量与本月新增量的叠加。

标签：推导公式斐波那