椭圆焦点公式坐标公式推导

2026-04-03 阅读 112 评论 0

摘要：1. 椭圆定义
椭圆是平面上到两个定点（焦点）的距离之和为常数2a（a > 0）的点的轨迹，且两焦点间距2c满足 (2a > 2c)，即 (a > c)。
2. 建立坐标系
设椭圆中心在原点，焦

1. 椭圆定义

椭圆焦点公式坐标公式推导

椭圆是平面上到两个定点（焦点）的距离之和为常数2a（a > 0）的点的轨迹，且两焦点间距2c满足 (2a > 2c)，即 (a > c)。

2. 建立坐标系

设椭圆中心在原点，焦点位于x轴上，坐标分别为 (F_1(-c, 0)) 和 (F_2(c, 0))。椭圆上任一点(P(x, y))满足：

[

sqrt{(x+c)^2 + y^2} + sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a

]

3. 方程化简

第一次平方：移项并平方消去根号：

[

sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 2a

sqrt{(x-c)^2 + y^2}

]

[

(x+c)^2 + y^2 = 4a^2

4asqrt{(x-c)^2 + y^2} + (x-c)^2 + y^2

]

整理后得到：

[

4xc = 4a^2

4asqrt{(x-c)^2 + y^2}

]

[

sqrt{(x-c)^2 + y^2} = a

frac{c}{a}x

]

第二次平方：再次平方并整理：

[

(x-c)^2 + y^2 = a^2

2cx + frac{c^2}{a^2}x^2

]

合并同类项，引入 (b^2 = a^2

c^2) 得：

[

frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1

]

4. 焦点坐标公式

由 (c = sqrt{a^2

b^2})，焦点坐标为：

[

F_1(-sqrt{a^2

b^2}, 0) quad

ext{和} quad F_2(sqrt{a^2

b^2}, 0)

]

5. 长轴在y轴的情况

若椭圆的长轴在y轴上，标准方程为：

[

frac{x^2}{b^2} + frac{y^2}{a^2} = 1 quad (a > b)

]

此时焦点坐标为：

[

F_1(0, -sqrt{a^2

b^2}) quad

ext{和} quad F_2(0, sqrt{a^2

b^2})

]

总结公式

标准方程：(frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)（x轴方向）或 (frac{x^2}{b^2} + frac{y^2}{a^2} = 1)（y轴方向）

焦点坐标：((pm sqrt{a^2

b^2}, 0)) 或 ((0, pm sqrt{a^2 - b^2}))

其中，(a) 为长半轴，(b) 为短半轴，(c) 为焦距，满足 (c^2 = a^2 - b^2)。

原文链接：https://www.6g9.cn/qwsh/dda5dAD5YVVdWAA.html

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