椭圆到焦点最短距离

2025-10-18 阅读 37 评论 0

摘要：椭圆的标准方程为$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$是长半轴，$b$是短半轴，且满足$a > b$。椭圆的焦点坐标为$(pm c, 0)$，其中$c

椭圆的标准方程为$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$是长半轴，$b$是短半轴，且满足$a > b$。椭圆的焦点坐标为$(pm c, 0)$，其中$c = sqrt{a^2

椭圆到焦点最短距离

b^2}$。

为了找到椭圆上点到焦点的最短距离，考虑椭圆上的任一点$(x, y)$到焦点$(c, 0)$的距离。使用椭圆的参数方程$x = a cos

heta$，$y = b sin

heta$，距离公式为：

d = sqrt{(a cos

heta

c)^2 + (b sin heta)^2}

为了找到最小值，考虑平方距离：

d^2 = (a cos

heta

c)^2 + (b sin heta)^2

展开并简化：

d^2 = a^2 cos^2

heta

2ac cos

heta + c^2 + b^2 sin^2

heta

利用椭圆的关系式$b^2 = a^2

c^2$，进一步简化：

d^2 = a^2

2ac cos

heta + c^2

c^2 sin^2 heta

通过对$

heta$求导并找到导数为零的点，得到临界点$

heta = 0$或$pi$。对应的椭圆上的点为右顶点$(a, 0)$和左顶点$(-a, 0)$。计算这两个点到焦点$(c, 0)$的距离：

右顶点$(a, 0)$到焦点的距离为$a

左顶点$(-a, 0)$到焦点的距离为$a + c$

显然，最短距离为$a

c$。

使用拉格朗日乘数法验证，得到同样的结论：椭圆上点到焦点的最短距离出现在右顶点，距离为$a

c$。

椭圆上点到焦点的最短距离为：

boxed{a

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