椭圆焦点距离之和怎么求公式

2025-09-14 阅读 69 评论 0

摘要：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和的公式为 2a，其中 a 是椭圆的长半轴长度。
推导过程：
1. 椭圆定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）的距离之和为常数的点的轨迹。设椭圆的标准方程为 (fra

椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和的公式为 2a，其中 a 是椭圆的长半轴长度。

椭圆焦点距离之和怎么求公式

推导过程：

1. 椭圆定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）的距离之和为常数的点的轨迹。设椭圆的标准方程为 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)（(a > b)），焦点坐标为 ((pm c, 0))，其中 (c = sqrt{a^2

b^2})。

2. 取特殊点验证：当点位于椭圆右顶点 ((a, 0)) 时，到两个焦点的距离之和为 ((a + c) + (a

c) = 2a)。同理，左顶点 ((-a, 0)) 也满足此和，初步表明常数可能为 (2a)。

3. 一般点推导：

设椭圆上任意一点为 (P(x, y))，计算到两个焦点的距离之和：

[

|PF_1| + |PF_2| = sqrt{(x + c)^2 + y^2} + sqrt{(x

c)^2 + y^2}.

]

代入椭圆方程 (y^2 = b^2 left(1

frac{x^2}{a^2}right))，并化简根号内表达式：

[

sqrt{left(frac{c}{a}x + aright)^2} + sqrt{left(frac{c}{a}x

aright)^2}.

]

展开后，绝对值符号内的表达式恒为正，化简得：

[

left(a + frac{c}{a}xright) + left(a

frac{c}{a}xright) = 2a.

]

无论椭圆上的点如何选取，到两焦点的距离之和恒为 2a。这一结果与椭圆的长轴长度直接相关。

标签：之和椭圆公式距离