椭圆的焦点弦长公式是什么

1. 椭圆的标准方程和焦点坐标：

椭圆的标准方程为 (frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中焦点坐标为 ((pm c, 0))，且 (c^2 = a^2

2. 过焦点的直线方程：

假设过焦点 ((c, 0)) 的直线方程为 (y = k(x

3. 联立方程求解交点：

将直线方程代入椭圆方程，得到：

[

frac{x^2}{a^2} + frac{[k(x

]

展开并整理得到一个关于 (x) 的二次方程：

[

left( frac{1}{a^2} + frac{k^2}{b^2} right)x^2

]

4. 求解二次方程的根：

设方程的解为 (x_1) 和 (x_2)，利用根与系数的关系求得根的和与积，并计算弦长：

[

|x_1

]

弦长公式为：

[

L = |x_1

]

5. 化简弦长公式：

通过代数化简，最终得到弦长公式：

[

L = frac{2 a b^2 (1 + k^2)}{b^2 + a^2 k^2}

]

6. 转换为倾斜角形式：

假设倾斜角为 (

heta)，则 (k =

an

heta)，代入后得到：

[

L = frac{2 a b^2}{a^2 sin^2

heta + b^2 cos^2

heta}

]

7. 用离心率表示：

椭圆的离心率 (e = frac{c}{a})，其中 (c = sqrt{a^2

[

L = frac{2 a (1

]

最终，椭圆的焦点弦长公式为：

当焦点弦的倾斜角为 (

heta) 时，

[

boxed{dfrac{2ab^2}{a^2 sin^2

heta + b^2 cos^2

heta}}

]