知道椭圆长轴和短轴怎么算周长

2025-09-14 阅读 82 评论 0

摘要：椭圆的周长计算因涉及椭圆积分而无法用初等函数精确表示，但可通过近似公式或数值方法求解。以下是具体步骤和公式：
1. 精确公式（椭圆积分）
椭圆周长 ( L ) 的精确表达式为：
[
L = 4

椭圆的周长计算因涉及椭圆积分而无法用初等函数精确表示，但可通过近似公式或数值方法求解。以下是具体步骤和公式：

知道椭圆长轴和短轴怎么算周长

1. 精确公式（椭圆积分）

椭圆周长 ( L ) 的精确表达式为：

[

L = 4a int_{0}^{frac{pi}{2}} sqrt{1

e^2 sin^2

heta} , d

heta

]

其中，( a ) 为半长轴，( e = sqrt{1

left(frac{b}{a}right)^2} ) 为离心率（( b ) 为半短轴）。此积分需通过数值方法（如计算器、MATLAB等工具）求解。

2. 常用近似公式

拉马努金近似公式

第一近似式（适用于一般精度）：

[

L approx pi left[ 3(a + b)

sqrt{(3a + b)(a + 3b)} right]

]

计算简便，误差约为 ( 0.1% ) 至 ( 1% )。

第二近似式（更高精度）：

[

L approx pi (a + b) left( 1 + frac{3h}{10 + sqrt{4

3h}} right)

]

其中 ( h = left( frac{a

b}{a + b} right)^2 )。此公式误差小于 ( 0.04% )，适合大多数应用。

3. 计算步骤示例

已知条件：长轴 ( 2a = 10 )，短轴 ( 2b = 6 )

步骤：

1. 计算半轴：( a = 5 )，( b = 3 )。

2. 计算 ( h )：

[

h = left( frac{5

3}{5 + 3} right)^2 = left( frac{2}{8} right)^2 = 0.0625

]

3. 代入第二近似式：

[

L approx pi (5 + 3) left( 1 + frac{3

imes 0.0625}{10 + sqrt{4

imes 0.0625}} right) approx 25.915

ext{（实际值约25.910）}

]

4. 其他近似方法

简单级数展开：

[

L approx pi left( a + b right) left[ 1 + frac{1}{4}h + frac{1}{64}h^2 + frac{1}{256}h^3 right]

]

适用于 ( a ) 和 ( b ) 相差较小的情况。

数值积分：

使用工具（如Python的`scipy`库）直接计算椭圆积分，适合高精度需求。

5. 注意事项

当椭圆接近圆形（( a approx b )）时，公式退化为圆周长 ( 2pi a )。

若椭圆非常扁（( a gg b )），需使用更精确的数值积分或高阶近似式。

通过上述方法，可根据需求选择合适公式计算椭圆周长。对于大多数实际应用，拉马努金的第二近似式已足够精确。

原文链接：https://www.6g9.cn/qwsh/dd84cAD5SWlFSDg.html

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