椭圆公式焦点公式推导

2025-06-15 阅读 1 评论 0

摘要：椭圆的标准方程为(frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中(a)是长半轴，(b)是短半轴，且(a > b)。椭圆的焦点位于长轴上，坐标为((pm c, 0))，其

椭圆的标准方程为(frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中(a)是长半轴，(b)是短半轴，且(a > b)。椭圆的焦点位于长轴上，坐标为((pm c, 0))，其中焦距(c)满足关系式(c = sqrt{a^2

椭圆公式焦点公式推导

b^2})。

推导过程如下：

1. 椭圆定义：椭圆上任意一点(P(x, y))到两个焦点(F_1(-c, 0))和(F_2(c, 0))的距离之和为(2a)，即：

[

sqrt{(x + c)^2 + y^2} + sqrt{(x

c)^2 + y^2} = 2a

]

2. 特殊点验证：取椭圆上的顶点((a, 0))和上顶点((0, b))验证：

对于右顶点((a, 0))，距离和为((a + c) + (a

c) = 2a)。

对于上顶点((0, b))，到两个焦点的距离均为(sqrt{c^2 + b^2})，距离和为(2sqrt{c^2 + b^2} = 2a)，解得(c = sqrt{a^2

b^2})。

3. 一般推导：

将椭圆定义式两边平方：

[

left[sqrt{(x + c)^2 + y^2} + sqrt{(x

c)^2 + y^2}right]^2 = (2a)^2

]

展开并整理得到：

[

2x^2 + 2y^2 + 2c^2 + 2sqrt{[(x + c)^2 + y^2][(x

c)^2 + y^2]} = 4a^2

]

移项并再次平方，整理后得到：

[

(x^2 + y^2 + c^2)^2

4x^2c^2 = (2a^2

x^2 - y^2 - c^2)^2

]

进一步化简并比较椭圆标准方程，得到：

[

b^2 = a^2

c^2 implies c = sqrt{a^2

b^2}

]

最终，椭圆的焦点坐标为((pm sqrt{a^2

b^2}, 0))。

[

boxed{(pm sqrt{a^2

b^2}, 0)}

]

原文链接：https://www.6g9.cn/qwsh/dd964AD5TVVRRAw.html

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