数列1 2 4 7 11 16…的求和公式

1. 观察差分规律：

该数列的一阶差分为1, 2, 3, 4, 5...，即自然数序列。原数列的通项公式是一个二次多项式。

2. 求通项公式：

设第n项为$a_n$，通过累加一阶差分可得：

$$

a_n = 1 + sum_{k=2}^n (k-1) = 1 + frac{(n-1)n}{2} = frac{n^2

$$

3. 求和公式推导：

前n项和$S_n = sum_{k=1}^n a_k$，代入通项公式并展开：

$$

S_n = frac{1}{2} sum_{k=1}^n (k^2

$$

分别计算各部分和：

合并后得到：

$$

S_n = frac{1}{2} left( frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

$$

化简后结果为：

$$

S_n = frac{n^3 + 5n}{6}.

$$

验证示例：

最终求和公式：

$$

boxed{S_n = frac{n^3 + 5n}{6}}

$$