椭圆焦点坐标公式推导方程

椭圆是平面上到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹。假设椭圆的两个焦点F1和F2的坐标分别是(-c, 0)和(c, 0)，其中c是焦点到原点的距离。椭圆的标准方程为：(frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1)，其中a是长半轴，b是短半轴，满足关系式(c^2 = a^2

推导过程如下：

1. 椭圆的定义：任何一点P(x, y)到F1(-c, 0)和F2(c, 0)的距离之和等于常数2a：

[

sqrt{(x + c)^2 + y^2} + sqrt{(x

]

2. 消除根号：将方程中的一个根号移到另一边并平方：

[

sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a

]

两边平方得到：

[

(x + c)^2 + y^2 = 4a^2

]

3. 简化方程：展开并抵消相同项：

[

x^2 + 2xc + c^2 + y^2 = 4a^2

]

化简后得到：

[

4xc = 4a^2

]

4. 再次平方：两边除以4a并平方：

[

sqrt{(x

]

两边平方得到：

[

(x

]

5. 整理方程：展开并整理得到：

[

x^2

]

抵消相同项并整理：

[

x^2 + c^2 + y^2 = a^2 + frac{x^2c^2}{a^2}

]

移项并整理：

[

x^2left(1

]

6. 引入b参数：令(b^2 = a^2

[

frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1

]

其中(c = sqrt{a^2

最终，椭圆焦点的坐标公式为：

[

boxed{(pm sqrt{a^2

]